Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 21

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 73 >> Следующая

Как видно, при такой схеме вычислений не приходится обращать плохо обусловленную матрицу, что стимулирует получение устойчивого решения. Чтобы более явно раскрыть механизм этого явления, поступим следующим образом. С использованием матрицы 9^ МНК-оценку (2.25) можем представить в следующем виде:
» т 4 X ?(*/)? (*/)
/=1
-1
? ?(*/)У/ =51/7 Е ?(*/)>'/. (2.51)
/=1 /=1
Матрица 91„ вычисляется последовательно. Будем иметь:
91] = (9t<f1 + v(^i)?T(Jfi))_1; 9*2 = (Я,-1 + ?(*2)УТ(*2)Г‘ = = (9V1 + v(*i)vT(*i) + v(^)vTte))_1; •••;
r n Vі
9lo1 + SvU/)VTU/)
/=1
65
Если учесть результат последовательного вычисления матрицы выражение (2.51) перепишется так:
Є
9*o1 + ?v(*/)vT(*;)
'=1 ,
-1 " т Л
(=i
? ?(*/)?/ =
(=1
-1
(2.52)
I Ч(Х()у,.
i=l
Как видим, оценки (2.51), (2.52) различаются: если в (2.51) т " т
матрица V *P=EV(*/)V (*;) плохо обусловлена, то ее аналог
/=1
-1 П Т -1
у Е + X V(*/)V (*/) в (2.52) благодаря начальному условию у Е /=1
может оказаться хорошо обусловленной матрицей, что и обеспечивает устойчивость решения.
Чтобы получить представление об эффективности РМНК, приведем результаты одного вычислительного эксперимента. Его существо заключается в следующем. Были заданы конкретные матрица Y размерностью я = 10на/и + 1= 3и вектор 8. Матрица строилась случайным образом, но так, что один из ее столбцов отличался от соседнего только одним элементом, изменение которого позволяло варьировать число обусловленности матрицы Далее решалась прямая задача, в результате чего находили вектор у* = Т8. Этот вектор искажался случайным «шумом» є с независимыми и равномерно распределенными на [—с, с] компонентами, что приводило к формированию вектора у = у + е. Построенный таким образом вектор j использовался при решении обратной задачи, т.е. при поиске оценки 8 вектора 8 в соответствии с регулярным (2.24) и рекуррентным (2.49), (2.50) методами наименьших квадратов. Результаты вычислений содержатся в табл. 2.1.
В таблице использованы следующие обозначения: D = ||'FT'F||
т і т llW^ell
ІІОР'ЧТЧІ — число обусловленности матрицы ?Т; ¦¦ ¦ ¦¦ ¦¦¦ —
|| Ч» VII
относительная ошибка при формировании свободных членов
66
Таблица 2.1
Точностные характеристики МНК и РМНК
D 1ГГте|| irrVll іе-еу «єн для МНК не - в[| т\ для РМНК Diag('FTvF)-l
оо О 1 0,258 -
5,56-1012 З,810_3 6,93-103 0,257 8-Ю-3 1,Ы010 1,1-Ю10
5,56-Ю10 3,9-10-3 704,3 0,23 8-Ю-3 1,1-108 1,1 108
5,56-108 3,3-Ю'3 43,79 0,342 8-Ю'3 1,1 106 1,1 ю6
5,56-Ю6 5,1-Ю-3 7,12 3,18 8-10~3 1.М04 1,1-Ю4
2,5-104 4-Ю"3 0,507 0,506 8-Ю-3 49,9 49,1
2,3-Ю3 3,37-10—3 0,187 0,187 8-Ю-3 4,69 4,42
595 3,8-10~3 0,066 0,066 8-Ю-3 1,26 1,1
36 3-Ю-3 0,029 0,029 8-Ю-3 0,102 0,044
19,68 З,210_3 9,8-10—3 9,8-10“3 8-Ю-3 0,057 0,011
67
системы уравнений (2.23); - - для МНК — относительная
IIе II II0 — 0II
ошибка МНК-оценки (2.24); ¦!!———!- для РМНК — относительно II
ная ошибка оценки, найденной рекуррентным методом наименьших квадратов'diag (YTY)_1 — столбец диагональных элементов матрицы (Т Т)'1, определяющей точность МНК-оценки. При проведении вычислений применялись евклидова векторная и спектральная матричная нормы. Содержащиеся в табл. 2.1 данные получены усреднением по десяти реализациям вектора е, ковариационная матрица которого в эксперименте принималась равной (2/3)х10_1?. Истинное значение вектора 0 формировалось случайным образом и оказалось равным 0Т = [4,063 0,053 1,655]. Первая строка в табл. 2.1 соответствует вырожденной матрице 'FT'F. Из таблицы видно, что при плохо обусловленных матрицах YT,F рекуррентный метод, в отличие от регулярного, ведет себя вполне «пристойно».
По мере уменьшения числа обусловленности матрицы точностные характеристики методов сближаются. Наблюдаемое ухудшение точности рекуррентного метода в «среднем» диапазоне чисел обусловленности можно объяснить тем, что все исследования проводились при одном и том же значении параметра у, определяющего начальную матрицу 91о = уЕ в структуре рекуррентного алгоритма (было принято у = 104). Вместе с тем исследования свидетельствуют об определенной чувствительности алгоритма к значению этого параметра, которое полезно адаптировать к числу обусловленности матрицы 'FT'F. Так, если при D = 5,56 х 106 положить у = 103, то относительная ошибка рекур-рентно найденной оценки оказывается равной 0,723 (вместо 3,18 при у — 104). Выбор оптимального значения параметра у здесь не обсуждается.
2.3.8. Коэффициент детерминации.
Послерегрессионный анализ регрессионной модели
Коэффициент детерминации. Рассмотренные выше методы регрессионного анализа предполагали, что регрессионная модель (2.2) (число и характер экзогенных переменных, структура и размерность вектор-функции у(дг) и т.п.) выбрана и обоснована
68
средствами предварительного анализа регрессионной модели (см. п. 1.5). После проведения регрессионного анализа исследователь располагает большей информацией о свойствах модели, так как для регрессионных параметров модели и дисперсии экспериментальных ошибок получены МНК-оценки и установлены их основные свойства. Это позволяет с позиций новых знаний еще раз возвратиться к модели (2.2), подвергнуть ее дополнительному анализу и при необходимости подкорректировать.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100