Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 20

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 73 >> Следующая

Ц&ІІ ^ |И_1|| х ||5ji|. Рассмотрим относительную ошибку решения IM/IWI- Из (2.44) следует |[у || < ||Л|| х ||г*||. Перемножив два последних неравенства, получим
II&II х |1у*ц ^ HS^II X ІИ-'ІІ ж Mil х Ikll =>
=> ІІ&ІІ/ Ikll ^ ІИ-'ІІ х ІИІ х ІМ/ііуіі- '
Отсюда следует, что относительная ошибка в решении, вызванная неточным заданием входных данных , тем больше, чем больше число ||Л-1|| х ||Л||, которое может служить своеобразным индикатором устойчивости решения.
Определение 2.7. Число DA = ||Л_1|| х ||Л|| для невырожденной матрицы А и 0А = для вырожденной называется числом обусловленности матрицы А.
Некоторые характерные свойства числа обусловленности [19]:
Da> 1; Da> |Xmax|/|Xmin|, где |A.max| и |Ятіп| - наибольшее и наименьшее по модулю собственные числа матрицы A; D^g < DaDb для произведения АВ матриц. Матрицы с большим числом обусловленности называются плохо обусловленными в противовес хорошо обусловленным матрицам, которым соответствуют малые числа обусловленности.
Таким образом, чем больше число обусловленности матрицы, тем большая относительная ошибка решения порождается одной и той же относительной ошибкой задания входных данных у. При этом следует иметь в виду, что конкретное значение числа обусловленности зависит от способа задания нормы ||Л|| матрицы А. Заметим, что современные пакеты прикладных программ предусматривают вычисление чисел обусловленности матриц при различных заданиях их норм.
Выявленные особенности системы (2.41) свойственны, разумеется, и системе (2.23), используемой для поиска МНК-оценки (2.24). Если матрица Т Т оказывается плохо обусловленной, использовать выражение (2.24) как средство практического вычисления МНК-оценки рискованно, так как даже малые ошибки в задании вектора 'FTy могут привести к большим отклонениям решения, т.е. к большим ошибкам МНК-оценки. Несложно получить аналогичное (2.45) неравенство для уравнения (2.23). Пусть у = ?тв — гипотетический вектор экспериментальных данных,
62
соответствующих идеальному случаю безошибочных наблюдений, и у = Тт8 + е — результат реальных наблюдений. Тогда по аналогии с (2.45) получаем
||в - 0|| / Ц0ІІ < ||ТтТ|| х ИОРРГЧІ х |pFTe|| / ЦТ1/!-
Отсюда следует, что при плохо обусловленной матрице 'FT'F нужны иные, нежели (2.24), принципы поиска решения системы
(2.23). Эти принципы и при плохо обусловленной матрице 'FT'F должны гарантировать приемлемо малые ошибки оценивания. Успехи вычислительной математики в этом направлении в последнее время связаны с разработкой так называемых методов регуляризации, объединенных в весьма разветвленную математическую теорию решения некорректных задач (например, [24]). Далее, не вдаваясь в терминологические и принципиальные особенности методов регуляризации, рассмотрим один из алгоритмов, позволяющих обеспечить устойчивость решения при вычислении МНК-оценок и организовать достаточно рациональную вычислительную схему поиска этих оценок.
2.3.7. Рекуррентный метод наименьших квадратов
Предположим, что поиск МНК-оценки осуществляется не по всему массиву ^1, у2, ..-,уп экспериментальных данных, а лишь по части Уі,У2, •••, Уь к<п. Это означает, что целевая функция (2.20) и соответствующая оптимизационная задача приобретают вид
/* = X [уj - ут(дгу)в]2 —> min по 0. (2.46)
7=1
Техника решения задачи (2.46) уже известна, и ее «материализация» может быть представлена в форме (2.25)
0W =
' к
Хчг(*/)У/- (2.47)
/=1
Е ?(•*/)?1 С*/) ;=1
Здесь индекс у оценки указывает на объем экспериментальных данных, используемых при ее вычислении. Выражение (2.47) введено чисто формально в том отношении, что проблема обра-
63
щаемости матрицы в (2.47) не обсуждается, так как в последующем она легко снимается.
Утверждение 2.9. Пусть матрицы Р, Q, R таковы, что образуют зырожде ставление
невырожденную матрицу P~l + QTR lQ. Тогда справедливо пред-
(Р-1 + QTR-lQ)~l =Р- PQT(QPQT + R) lQP. (2.48)
Доказательство этой так называемой леммы об обращении матрицы можно найти, например, в [20], и мы не будем на нем останавливаться.
Введем обозначение
X ?(*/)? (*/)
v/=l j
\-1 ґк_Х N-l
2 ?(*/)?T(*/) + ?(**)?T(**)
V
І=1
= (9tk_r,+?fe)?Tfe))_1-
Воспользовавшись леммой об обращении матрицы, представим
= -9t*-i?(*i)(?T(**:) Я*-і?(**:) + 1)“W) (2.49)
Это позволяет следующим образом преобразовать выражение (2.47):
(к-\ N
ew=9tt 'Z ?(*/)>', +?(**)>'* =
Л-1
= (**_! -Qk-l*k-l) 2 ?(*/)?/ + **?(**)%>
/=1
где обозначено q *_i = 91 *_і?(х*)(?Т(**) + irVW)-
По аналогии с (2.47)
*к-\ ? Ч(хі)Уі =в(к~1)
/=і
и, следовательно,
в(к) = - qk_x в{к~1) +
64
В соответствии с введенными обозначениями имеем:
Як-^к-І ~ “ 91* =* Як-1 = Е— 9t*9t*_i-1;
Як-Г1 = St*-1 - у(хк)ут(хк) => = 51*. у(дсл)?т(дс*).
Это позволяет окончательно записать 0(к) = 0(к-1)+ ^ ?(^)(Л _ к= 1,2,я. (2.50)
Совокупность выражений (2.49), (2.50) обычно и принято называть рекуррентным методом наименьших квадратов (РМНК). Вычисления по этому методу организуются последовательно. Вначале полагают k= 1; задают начальные условия, наиболее часто в виде 0*°* = 0, SRo = уЕ, где у = const»1; из (2.49) находят 91], а из (2.50) — 0(|), что формально соответствует поиску оценки 0(1) регрессионных параметров по единственному экспериментальному результату уі. Разумеется, никакого серьезного внимания к оценке 0(|) проявлять нельзя, она лишена какого-либо практического смысла и должна рассматриваться как формальный «эпизод» на пути получения МНК-оценки. Далее принимают к = 2, из (2.49) находят , а из (2.50) — 0(2), что соответствует уточненной по второму экспериментальному наблюдению >’2 оценке. Далее аналогичным образом проводятся вычисления при к = 3,4,..., п, что приводит к оценке 0'"*, принимаемой за МНК-оценку.
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100