Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 19

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 73 >> Следующая

58
-j== { exp|-y zf jdz,- = J, b = ha j1 => h = -а(иа/2,
где иа/2 есть а/2-квантиль стандартного гауссовского распределения. Таким образом, с вероятностью 1 — а выполняется неравенство 0, + а,«а/2 - 0/ < 0,- — Ст/И а/2, ИЗ КОТОРОГО следует 0, + СТ,«а/2 < < 0, < 0; — ст,ыа/2, / = 0, 1, 2,..., /и. Это и будут доверительные интервалы для регрессионных параметров. Далее эти неравенства будут уточнены.
2.3.6. Проблема обусловленности МНК-оценок. Векторные и матричные нормы
Выражение (2.24) для вычисления МНК-оценки внешне подкупает своей простотой и математической изящностью. Однако присутствие в нем операции обращения матрицы представляет собой тот айсберг, встреча с которым может привести к непредвиденным последствиям, если к этой встрече не подготовиться предварительно. Природа опасения заключается в следующем.
Матрица 0FT,F) в (2.24) преобразует вектор Ч?ту в оценку 0(у). В практических задачах вектор у отображает результаты определенного эксперимента, которому сопутствуют неизбежные ошибки и неточности, обусловленные несовершенством измерительных технологий, методологии организации эксперимента и др. Все это приводит к тому, что реально вместо вектора у* = *F0, объективно отражающего состояние исследуемого явления, придется оперировать вектором Ф у*, который после его подстановки в (2.24) приведет к величине 0(у) = ('FT'F)_1'FT.y Ф 00-*) = (4'T4')“1'FV. Это неравенство порождает крайне существенный вопрос: если ?тСу* — у) = Ду, где Ду — некоторое отклонение, то к каким последствиям в смысле величины изменения 80 = 0(у*) — 0(у) МНК-оценки отклонение Ду приведет? Естественным является желание иметь при малых в некотором смысле отклонениях Ду малые изменения 80. Однако это пожелание далеко не всегда достигается. Поэтому нужно выявить механизм, определяющий характер взаимодействия величин 80 и Ду, с тем чтобы, раскрыв этот механизм, суметь достичь желаемого результата. Сформулируем ряд основополагающих в данной проблеме положений.
59
Пусть z є Л"1, yeR" и z = q>(y) — решение некоторой задачи, найденное как функция вектора у. Тогда:
Определение 2.3. Решение z = q>(y) называется устойчивым, если при Ve > 0 36(e) > 0 такое, что из неравенства Цуі — j»2|| < 6(e) следует ||zi - Z2II < ?> гДе У\ и У2 — произвольные элементы из R", Z] = фО^і), Z2 = Ф0>2>-
По существу, это определение означает, что решение устойчиво, если малым по норме изменениям 5у аргумента^ соответствуют малые по норме изменения 6г в решении г, так что ||5г||—>0 при
иадио-
Определение 2.4. Задача поиска решения z = Ф(у) называется корректно поставленной на паре пространств R", R”, если выполняются условия:
1) для \/уеВ” существует решение ze ROT;
2) решение определено однозначно, т.е. единственно;
3) решение устойчиво.
Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требованиям, называют некорректно поставленными. В связи с поиском МНК-оценок наибольшее беспокойство вызывает третье условие, что и порождает, как уже отмечалось, необходимость найти своеобразный критерий устойчивости решения. Осуществим это намерение в связи с поиском решения системы алгебраических уравнений
y-Az,AeRnxn, (2.41)
подобной определяющей МНК-оценку системе (2.23). Для этого нам понадобятся некоторые дополнительные сведения о векторных и матричных нормах.
Определение 2.5. Пусть у = [у,]є R", т.е. /=1,2,..., п. Тогда число
М = (hr + hr +... +1УпГ)1/р, P*h (2.42)
называется гельдеровой нормой вектора у.
В зависимости отр получают ту или иную частную норму. Так, при р = 1 получают октаэдрическую [9], или /і-норму [26]; при р = 2 имеем уже широко нами использовавшуюся евклидову, или
/2-норму; При Р — ОО получим кубическую, или /„-норму
ІІУІІ = max{[yj, / = 1,2,..., «}. В зависимости от характера решаемой задачи применяют ту или иную частную норму.
60
Определение 2.6. Пусть А = [ау]е Rmxn и ||у||є R". Тогда число
Мз'ІІ
= max YT (2.43)
.yeR", y*0„ IIУII
называется нормой матрицы А, согласованной с нормой вектора^.
Помимо трех традиционных аксиом, которым удовлетворяет норма любого математического объекта из линейного пространства, матричная норма (2.43) обладает еще одним свойством: если Ае Rmxn и Be R , то
\\АЩ < ІИІІ х ||Д||. (2.44)
В зависимости от способа определения векторной нормы получают определенную матричную норму. Так, если |[у|| - /[ -норма, то
т
IIА ||= шах Ца,*|
1</к<л/=1
и называется максимальной столбцовой нормой. Если ||у|| — /„-норма, то
П
IIА ||= max I \aik\
\<і<тк=\
и называется максимальной строчной нормой. Если ||у|| — евклидова норма, то
\\Ahfc
где Атах — максимальное собственное число матрицы АТА и называется спектральной нормой. Используются и другие матричные нормы. Например,
|Л||=|Х X а,і или при т = п М||=я шах |%|.
V»=U=1 l<i,k<n
Полезно иметь в виду ||?|| > 1, ||Л_1|| > ||?||/|И1, где Е, Ае Rnxn.
Возвратимся теперь к системе (2.41). Пусть вместо точного значения у получено приближенное значение у = у + 8у. Тогда вместо точного решения z системы получим приближенное
61
z = z + bz, причем отклонения связаны уравнением бу = Adz или bz = Переходя к нормам, получаем с учетом (2.44)
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100