Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 18

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 73 >> Следующая

С целью получения оценки дисперсии найдем минимальное значение целевой функции (2.20), соответствующее МНК-оцен-ке регрессионных параметров, т.е.
Легко устанавливается |[у - ?8II2 = (у - Т8)т сУ ~ Y©) = УГ(У ~ Y&) -8тТтСк - V&).
Так как в силу необходимого условия (2.23) оптимальности МНК-оценки вычитаемое справа в этом выражении представляет собой нуль, то получаем
Цу-'Рв||2 = уг0'-,Гв).
В свою очередь, если учтем модель экспериментальных данных (2.4) и выражение МНК-оценки (2.24), получим
(j,_Y8) = (?,„-Y(YTY)-1YT)e, (2.33)
где, как обычно, Еп - единичная я-матрица.
55
Если теперь еще раз воспользоваться моделью (2.4) и учесть то обстоятельство, что матрица '?т(Еп — 'F('FT'F)~I'FT) является нулевой, то установим окончательно
min J = ег(Еп - Т(Ч,тТ)-11,т)е. (2.34)
Величина (2.34) является случайной. Найдем ее среднее значение М{тin У}. Пусть Е„ — 'F('FT'F)“1YT = [а,у], i,j = 1, 2, ..., п. Тогда
гТ(Еп -Ф(ФтТ)-1Тт)е= ? ? agtfij.
i=lj=l
Усредняя это выражение, с учетом (2.19) получаем
M{min/} = а2 ? аи = a2Sp(En - Ч'(’РТЧ')’РТ).
i=l
Используя свойства следа матрицы, находим
M{min У} = o2(Sp?'n - Sp 'Г('ГТ'ГГ1'ГТ) =
(2.35)
а\п - Sp ('FT,F0FT'Fr1)) = а\п - Sp Ет + Х) = о\п - т - 1).
Рассмотрим случайную величину
-о 1
о =--------min/. (2.36)
п-т-1
Из сопоставления с (2.35) следует, что среднее значение этой величины М{д2} = а2. Но это означает, что величина ст2 может быть принята в качестве несмещенной оценки дисперсии ст2 экспериментальных ошибок. Таким образом, окончательно
2______1___ v _______________________1___п .._т?ц2^
(2.37)
О =--------КУі-V (Ху)0) =-----------||>>-ФЄГ =
л — /и — 1 j-\ J n-m-l
1 j>T0>-We).
n-m-1
Оценка (2.37) позволяет конкретизировать точностные свойства МНК-оценки регрессионных параметров, если в подвергав-
56
шемся критическим комментариям выражении (2.27) дисперсию ст2 заменить ее оценкой (2.37). Так как эта оценка является случайной величиной, при обширном ее использовании в процедурах эконометрических исследований недостаточно знания только ее математического ожидания, но необходим более обширный спектр вероятностных характеристик. Установим одну из них. Для этого воспользуемся определением (2.36) и откорректируем его в соответствии с (2.34):
д2=-------—-eT(?'„-4r(VTV)"1VT)c. (2.38)
п-т-\
Утверждение 2.6. Матрица - Y(YTY)~'YT является идемпо-тентной с рангом rank (Еп — Ч,(ТтТ)~|Тт) = п — т — 1.
Справедливость утверждения проверяется непосредственно:
(Еп - ?('Рт'1Т1'Гт)2 = (Еп ~ ТС!,тТ)_1Тт)(?я - 'F('FT'F)1'FT) =
= Еп - 'Р(Ч'Т'РГ1'РТ;
rank (Е„ - 'F('FT'F)_1'FT) = Sp (Еп - 'F('FTT)~l'i,T) = n-m- 1.
Ориентируясь на перспективу применения этого утверждения, следующим образом подкорректируем выражение (2.38):
д2(п-т-1)
о2
с \ Е
Vа/
т
(Е„ - V(VTV)_14>Tj -
\
(2.39)
Так как вектор е/а представляет собой стандартный гауссовский вектор, стоящая справа в (2.39) случайная величина в соответствии с утверждением 2.5 подчинена %2-распределению с п — ш — 1 степенями свободы. Таким образом, получен следующий важный результат.
жг * „ ^ - д2(п-т-1)
Утверждение 2.7. Случайная величина ------1---- подчине-
сг
на ^-распределению с п — т — 1 степенями свободы, т.е. распределению %"(п — т — 1).
Оценки а2 и 0 обладают еще одним любопытным свойством. Обе они являются функциями вектора наблюдений у. И тем не менее справедлив следующий результат.
57
Утверждение 2.8. Оценки 62(у) и 0(у) некоррелированы, а при гауссовских экспериментальных ошибках е независимы.
Для доказательства МНК-оценку (2.24), используя модель данных (2.4), представим в виде
0 = е + (Ч'тЧ'Г1Ч'те. (2.40)
Воспользовавшись (2.33), построим величину
(у - ?ё)вт = (?-4'('FT'F)“ 1'FT)e(eT'F('FTT)_ 1 + вт)
у-?0ив также гауссовские и из их некоррелированности следует независимость, порождающая независимость и оценок а2
и найдем ее среднее значение М{(у - ?в)вт} = (Е- Y(YT’P)-1’FT)M{eeT}’F(’FT’P)-1 = 0пх(т + „,
где 0пх(да + і) — нулевая пх(т + 1)-матрица. Здесь учитывается, что М{г) — 0 и М{єе } = <з2Е. Следовательно, векторы у — Y0 и 0 не коррелированы. Но тогда не коррелированы случайная величина Ib-'POIr и случайный вектор 0, а это влечет за собой некоррелированность самих оценок а2 и 0, так как первая из них непосредственно выражается через Цу — Y01|2. Если дополнительно вектор е экспериментальных ошибок является гауссовским, то векторы
У-' '
след) и 0.
Зная оценку а2 и учитывая то обстоятельство, что при гауссовском векторе е оценка 0 ~ N(Q, o2(YT,P)_1), можно построить доверительные интервалы для компонентов вектора 0. Действительно, приближенно примем 0 ~ JV(0, a20FT,F) ), заменив истинное, но неизвестное значение дисперсии ее оценкой, и зададимся доверительной вероятностью 1 — а. Для /-го компонента 0,-вектора 0 имеем 0, ~ iV(0„ aV//). гДе ?//— г_й диагональный элемент матрицы (Ч,Т,Р)~1. Найдем такую величину h, при которой Р(0, — h < 0, < 0, + h) — 1 — а, т.е.
1 ®'+л f і . ~
/ exp]-—(0(-©,)2[d0i=l-a,
/2nd2 е<~А і 2а,-
. После замены г венство преобразуется к виду
где a,2 = aV,-,. После замены переменной a, 1 (0, — Q,) = ц это ра-
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100