Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 17

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 73 >> Следующая

Характерная особенность предложенной производственной функции проявляется в нелинейной зависимости от параметров, что существенно усложняет процедуру их последующего оценивания по экспериментальным данным. Поэтому оказалось целесообразным предварительное логарифмирование этой функции, приводящее к очевидному результату:
ІП U — ІП V2 = ІП О + 6(ІП V[ — In V2),
уже линейно зависящему от параметров In а и Ь. Тогда математическую модель экспериментальных данных можно отобразить равенством
In и® — In v2^ = In а + 6(ln — In v2^) + z®,j =1,2,..., 24,
в котором слагаемое моделирует неизбежные отклонения результатов эксперимента от предполагаемых теоретических значе-
52
ний. Если теперь ввести обозначения: у,- = In и® — In , ©о =
- In а 01 = b, 0 = [©о ©i]T, Xj - In vj - In v2w), vT(Xj) = [1 *y], Ej = в и положить ft — 24, экспериментальные данные опишутся соотношением
j>y=VT(xy)0 + ?y,y= 1,2
что полностью совпадает с регрессионной моделью (2.3). В терминах этого совпадения величины)>j и Xj,j =1,2,..., п, можно интерпретировать как экспериментальную выборку соответственно эндогенной и экзогенной переменных данной экономической системы. МНК-оценка вектора параметров © находится с помощью уже известного правила (2.24), которое с учетом введенных обозначений и после проведения соответствующих матричновекторных операций может быть конкретизировано следующим образом:
_ _ __ _ кху-ху
0o=j'-x©1, 0i=-=-------
(х )-х
где, в свою очередь, использованы обозначения
1 п 1 п Iя —-Г Iя т
Х = - Ё Xj, у=- Ё yj, кху = — 2) ХуУу, (х ) = -'?xj.
Лу«1 1 пм J У п у=1 J 1 П у=1 1
Зная оценки параметров ©о и ©і, не представляет труда найти оценки исходных параметров а, Ь, с производственной функции. Следует заметить при этом, что исследование свойств этих оценок может породить самостоятельную задачу. Обратим внимание еще на одну особенность полученных оценок: они выражаются не через отдельные компонентыУі,У2, Уп экспериментальных данных, а через функции у, кху этих данных. Поэтому найденные оценки можно классифицировать как достаточные, а функции у, кху рассматривать как достаточные статистики.
2.3.4. Идемпотентные матрицы
Для последующего анализа нам потребуются матрицы, обладающие определенными специфическими свойствами. Одной из них является идемпотентная.
53
Определение 2.2. Матрица Рє RQXQ называется идемпотентной, если выполняется условие Р1 = РР = Р, т.е.квадрат идемпотентной матрицы равен самой матрице.
Как следствие этого определения, очевидно, = Рпри \/к є N. Идемпотентные матрицы обладают рядом замечательных свойств. Ограничим рассмотрение важным для нас случаем симметрических матриц.
Утверждение 2.3. Собственные числа идемпотентной матрицы равны нулю или единице.
Действительно, пусть v и z — собственное число и соответствующий ему собственный вектор матрицы Р. Тогда по определению Pz = vz^> P*z — vPz => Pz = v2z, т.е. v — v2, что выполняется при V = О ИЛИ V = 1.
Утверждение 2.4. Ранг симметрической идемпотентной матрицы Р равен ее следу: rank Р = Sp Р.
Так как Р — симметрическая матрица, то существует ортогональная матрица Т. диагонализирующая матрицу Р, т.е. обладающая свойствами Т J= Е, ТГРТ= V, где V = diag [v,], і = 1, 2, ..., q,
— диагональная матрица из собственных чисел матрицы Р. Отсюда, учитывая, что Т = Т-1, получаем Р = 7VГ1. Так как Т — невырожденная матрица, то rank Р = rank v. Но ранг диагональной матрицы v равен числу ее ненулевых строк. Число же таких строк совпадает с количеством собственных чисел, равных единице, т.е. со следом матрицы v: rank v = Sp v. В свою очередь, Sp Р = = Sp (TVT1) = Sp(7TTv) = Sp v и, следовательно, rank P = Sp P.
Заметим, что здесь и далее используются свойства следа матрицы: Sp (АВ) = Sp (ВА)\ Sp (А) = Sp (Л ); Sp (А + В) = Sp А + + Sp В, Sp (ААТ) = Sp (АГА) - АТА, где Ае R".
Обратим внимание еще на одну особенность идемпотентной матрицы, по существу являющуюся следствием доказанного утверждения: так как ранг ненулевой матрицы является целым положительным числом, сумма диагональных элементов симметрической идемпотентной матрицы представляет собой положительное целое число.
Утверждение 2.5. Пусть esRg— стандартный гауссовский вектор (М{е} = Од, М{еет} = о2Е) и Р — идемпотентная ^-матрица. Тогда случайная величина \х = гтРг подчинена %2(г) распределению, где г = rank Р.
54
Действительно, егРг = г^ТчІ^г = (JTe)Tv(JTe). Так как J— ортогональная матрица, то JTe ~ N(0?, о2Е), т.е. также стандартный гауссовский вектор. Но тогда случайная величина е Ре = = (Jre)Tv(JTe) представляет собой сумму г квадратов стандартных гауссовских величин и распределена, следовательно, по закону Х2(г).
2.3.5. Нешещенная оценка дисперсии экспериментальных ошибок и ее свойства
Выше было получено выражение (2.27), определяющее точность МНК-оценок, и одновременно отмечена ограниченность его применения, обусловленная неизвестностью дисперсии а2 экспериментальных ошибок в большинстве реальных эконометрических задач. Поэтому оказывается целесообразным оценивание параметров 8 регрессионной модели совместить с оцениванием дисперсии экспериментальных ошибок, чтобы в последующем иметь возможность аргументированно анализировать свойства МНК-оценок регрессионных параметров.
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100