Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 16

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 73 >> Следующая

Значение теоремы Маркова становится еще более важным, если предположить, что вектор экспериментальных ошибок является гауссовским, а именно є ~ N(0, а2Е). Покажем, что в этом случае МНК-оценка оказывается наилучшей и среди всех нелинейных несмещенных оценок, т.е. эффективной. С этой целью обратимся к неравенству Рао — Крамера (2.9) и найдем информационную
(Ч'ТЧ'Г1Ч'Т.у.
49
матрицу Фишера, воспользовавшись вторым определением из
(2.10). Прежде всего необходимо найти условную плотность экспериментальных данных Z-СЙв). Если в модели наблюдений (2.4) вектор 8 зафиксирован, то природа «случайности» вектора у порождена аналогичным качеством вектора е, так как иных источников случайности в этой модели нет. Поэтому вектору при фиксированном 0 будет также гауссовским с ковариационной матрицей а2Е и математическим ожиданием ?0, что непосредственно следует из (2.4). Таким образом,
Х0ІЄ) = Ny('F0, о2Е) => In ДИ©) = const - 0,5ст“2|[у - Т0||2,
где через const обозначено независимое от 0 слагаемое. Дважды продифференцировав последнюю функцию по 0 (см. (2.14)), найдем
Ф-1 = ст2('РтЧ'Г1.
Но этот результат полностью совпадает с ковариационной матрицей ошибки оценивания (2.27). Следовательно, при гауссовских некоррелированных экспериментальных ошибках неравенство Рао — Крамера вырождается в равенство, соответствующее точной нижней грани неравенства, а это и является признаком эффективности МНК-оценки в указанных условиях.
2.3.3. МНК-оценки параметров производственной функции Кобба - Дугласа
В качестве своеобразной иллюстрации техники построения МНК-оценок рассмотрим одну частную, но важную для многих эконометрических приложений задачу.
Производственными функциями принято называть соотношения между используемыми в производстве материальными и трудовыми ресурсами (обобщенно — производственными ресурсами) и выпускаемой продукцией. Пусть некоторое предприятие (отрасль, объединение, фирма и т.п.) в течение определенного промежутка времени производит q наименований продукции соответственно в количествах и\, и2,..., uq, представленных в натуральных единицах измерения или в денежном эквиваленте. Чтобы производить эту продукцию, необходимы s видов ресурсов СО-
50
ответственно в количествах vb v2, ..., Vy, также представленных в определенных единицах измерения. Тогда неявная функция
F(u,r,A) = 0,
связывающая вектор выпускаемой продукции и = [щ и2 ... м^]т, вектор используемых ресурсов V = [Vi v2 ... vs) и вектор а = [а\ а2 ... ^]т параметров, представляет собой производственную функцию. Причина для включения вектора параметров в состав производственной функции та же, что и в случае регрессионной модели: точно указать характер аналитической зависимости между векторами и и v невозможно; однако можно предвидеть параметрический класс функций, которому принадлежит производственная функция; в последующем эти параметры можно оценить по результатам надлежащим образом поставленного эксперимента. Суть последнего может заключаться в следующем: регистрируются объемы выпускаемой продукции при различных объемах используемых ресурсов, что приводит к массиву экспериментальных данных, подобному (1.1), (1.2); на основе этих данных находятся, например, МНК-оценки вектора а.
В настоящее время наиболее часто производственные функции применяют при решении однопродуктовых экономических задач (q = 1) с несколькими материальными и трудовыми ресурсами (s> 1). В этом случае и = и — скалярная величина, и производственную функцию, разрешив относительно и, представляют в виде
и =J{v, а)
и часто называют функцией выпуска.
Вид функции Д.) не может быть совершенно произвольным. Она должна удовлетворять определенным условиям. Вот некоторые из них.
1. Производство невозможно при отсутствии хотя бы одного из ресурсов, т.е.
ЛО, V2, v3,..., v5, а) =Л^1, 0, v3, ...,v5, а) =
= ... =Луь ...,v5_b 0, а) = 0.
Заметим, что если некоторый вид ресурса может компенсироваться другими, записанные условия относительно этого ресурса могут и не выполняться.
51
2. При увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции не уменьшается, т.е. для дифференцируемой производственной функции y,/{v, а) > 0.
3. Увеличение одного ресурса при неизменных значениях других ресурсов должно приводить ко все меньшим приростам
^2
выпускаемой продукции. Это достигается, если —-f(v,a)<0,
Эу,
/ = 1,2, ..., s, что эквивалентно требованию положительной знакоопределенности матрицы —Vyflv, а).
Одной из наиболее ранних производственных функций является предложенная в 1928 г. П. Дугласом и Д. Коббом функция для определения влияния величины затрачиваемого капитала (vi) и объема труда (v2) на объем выпускаемой продукции (и) в обрабатывающей промышленности США. Эта функция была предложена в форме
u — avib \>2, а>0,Ь>0, с > 0, А + с = 1.
Здесь в терминах предыдущих обозначений а = \а b с]т — вектор параметров, оцениваемых по экспериментальным данным. В качестве этих данных использовались зафиксированные в промежутке с 1899 по 1922 г. объемы затрачиваемого капитала труда v2y) и соответствующий им объем выпускаемой продукции и ,j ~1,2,..., 24.
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100