Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 14

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 73 >> Следующая

вектор-функция /(х) да по определению
[/!(*)f2(x) ...fm{x)] от п переменных. Тог-
df(x) dx
Щх) dfx(x) Щх)
dX\ dx2 " dxn
a/2w df2(x) df2(x)
dxi Эх 2 '¦ dx„
dfm(x) dfm(x) dfm(x)
Э.Г] Эх2 ' dxn
eR
тхп
(2.15)
Эту матрицу принято называть матрицей Якоби, а ее определитель (при т = п)— якобианом. В частности, для функции у = Ах, где Ае Rnxm, имеем
4-Ах = А. (2.16)
dx
4. Если хе R” и и(х)е Rm, v(x)e Rm — две вектор-функции, то производная по вектору х скалярного произведения этих функций определяется как вектор-строка
^¦(u(x),v(x)) = “Т(*)^г К-*) + vT(*)^h(x)
(2.17)
и, как следствие, производная от квадрата нормы, согласованной со скалярным произведением, и градиент находятся из выражений:
~т~ II и(х) ||2 = -т"(и(*) ,«(*)) = 2иТ(х)4~и(х),
d_
dx'
dx
V||«(*)f = 2
dx
(2.18)
d*
u(x)
u{x).
43
2.3. Метод наименьших квадратов
2.3.1. МНК-оценки
Возвратимся теперь к проблеме оценивания параметров 0 регрессионной модели (2.3). Дополнительно уточним некоторые положения, касающиеся этой модели. Прежде всего условимся в последующих процедурах вектор 0 классифицировать как неизвестный, что соответствует отсутствию всякой априорной информации о его свойствах. Далее будем полагать, что ошибки Ej(Xj) = Ej,j =1,2,..., п, т.е. не зависят от значений экзогенных переменных, принимаемых при проведении эксперимента. Дополнительно эти ошибки полагаем центрированными, не коррелированными друг с другом и имеющими при всех j одну и ту же, вообще говоря неизвестную, дисперсию ст2 (в таких случаях измерения (2.3) принято называть равноточными). Таким образом,
Л/{є.}=0, Л/{є,є} = ^ /, у = 1, 2, ..., п. (2.19)
у ' [а\ i = j,
Итак, предполагается, что результатом проведения некоторого эксперимента является совокупность наблюдений (апостериорная выборка) (2.3), упорядоченных в форме (2.4). Матрица определяется выбранной системой функций при аппроксимации неизвестной функции регрессии и значениями экзогенных переменных при проведении эксперимента. Векторы 0 и є в (2.4) соответствуют сделанным выше комментариям. Задача заключается в поиске оценки 0(у) вектора 0 как функции наблюдений у.
Одним из наиболее распространенных подходов к решению сформулированной задачи в настоящее время является метод наименьших квадратов (МНК). Его особенность прежде всего проявляется в отсутствии каких-либо жестких претензий к априорной информации об оцениваемых параметрах и экспериментальных ошибках. И это очень важно для эконометрических задач, которые, как правило, не допускают экспериментального повторения и в этом смысле являются однократными. Поэтому МНК, несмотря на свою большую историю (он применялся еще Гауссом и Лежандром), в экономических исследованиях занимает лидирующую позицию. Существо метода заключается в следующем.
44
В рассмотрение вводится целевая функция
J=1 Ь\-ут(дсу)Є]2, (2.20)
М
представляющая собой сумму квадратов удаления экспериментальных данных от значений, определяемых регрессионной составляющей в модели наблюдений (2.3). Заметим, что именно эти значения наблюдались бы в эксперименте, если бы функция регрессии действительно относилась к классу (1.19) , отсутствовали латентные переменные и сам процесс измерений эндогенной переменной был идеален. Структура целевой функции (2.20) является характерным признаком МНК. Наилучшей (оптимальной) оценкой (МНК-оценкой), найденной по этому методу, считается такое значение параметра 0, при котором функция (2.20) достигает своего минимума. Таким образом, МНК-оценка ищется из условия
e(jO = argmin/ = argmin X [у/ -\|/т(*,)в]2. (2.21)
в в _/=і J J
Если, используя обозначения (2.4), целевую функцию (2.20) переписать в эквивалентной, но более компактной форме
J = (у - ?0)ТО> - ?0) = |1у- Т0||2, то задача (2.21) будет формулироваться так:
0(у) = arg min II у - W01|2 . (2.22)
е
Запишем необходимое условие минимума для этой задачи, вычислив в соответствии с (2.18), (2.16) градиент функции J и приравняв его нуль-вектору:
V||y - Yell2 = -2- ?0) = Qm + і => ТтТе = TV (2.23)
Уравнение (2.23) представляет собой матрично-векторную форму записи системы линейных неоднородных алгебраических уравнений, состоящей из т + 1 скалярных уравнений и содержащей такое же число неизвестных ©о, ©ь ..., 0т. Прежде чем приступить к поиску решения данной системы, сформулируем ряд необходимых для этой цели положений.
45
Определение 2.1. Матрица AeRmxn называется матрицей полного ранга, если ее ранг rank А удовлетворяет условию rank А = = min (п, т).
Утверждение 2.1. Для произвольной матрицы А справедливо: rank А = rank АТА = rank Ал .
Доказательство утверждения можно найти, например, в [8, 9].
Утверждение 2.2. Пусть в (2.23) матрица ?тє R(m + является матрицей полного ранга и п > (m + 1). Тогда матрица 'FT'F является невырожденной.
Действительно, матрица + 1)x(m + 1),ив силу ограни-
чения п > т + 1 и предыдущего утверждения имеем гапк?т? = = rank = т + 1. Но это значит, что определитель pFTxF| Ф 0, т.е. матрица 'FT'F не вырождена.
Возвратимся теперь к системе уравнений (2.23). Из невырожденности матрицы 'FT'F вытекает существование обратной матрицы (ТтТ) , что позволяет найти решение системы в форме 0 = ('FT'F)-1'F Гу. Так как целевая функция / является выпуклой, то необходимое условие ее минимума является и достаточным, поэтому найденное решение системы (2.23) представляет собой решение задачи (2.22) и, следовательно, МНК-оценка вектора 0 определяется выражением
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100