Информационный сайт

 

Реклама
bulletinsite.net -> Книги на сайте -> Бизнесмену -> Чураков Е.П. -> "Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике" -> 13

Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике - Чураков Е.П.

Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике — М.: Финансы и статистика, 2004. — 240 c.
ISBN 5-279-02745-6
Скачать (прямая ссылка): matematicheskiemetodiobrabotki2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 73 >> Следующая

В настоящее время теория статистических решений и математическая статистика рекомендуют много способов вычисления оценок. Эти способы отличаются объемом используемой априорной информации, критериями оценивания, сложностью вычисления оценок, соответствующих различным критериям, и Т.Д. Однако как бы ни был совершенен метод оценивания, принципиально при конечном числе п экспериментальных данных не удается добиться полного совпадения оценок 0 и оцениваемых параметров 0. Чтобы судить о степени приближения к оцениваемым параметрам, в рассмотрение вводят понятие ошибки оцениваниях], определяемой естественным образом: гіО», 0) = 0 (у) - 0. Так как вектор наблюдений у случаен и вектор параметров 0 также может быть случайным, то вектор ошибок всегда случаен и поэтому не может быть надежной мерой качества оценивания. Для описания точности оценивания используют неслучайные показатели, построенные на основе случайной ошибки. Для условной
39
оценки, которой соответствует неслучайный оцениваемый параметр, такими показателями являются величина смещения
#пл(0) = М^{ц(у, 0)} = Му,0{ё (у)) - 0,
представляющая собой среднее значение ошибки оценивания, и ковариационная матрица ошибок оценивания
0) - тл(0)] [г10, 0) - тТ)(0)]Т}>
элементы главной диагонали которой представляют собой дисперсии ошибок оценивания отдельных компонентов вектора 0, а остальные элементы — ковариации между этими ошибками. Для несмещенных ошибок (/^(0) = 0OT+i) ковариационная матрица ошибок принимает вид
Ат, = Л/ив{[0О') - 0] [0О>) - 0]Т}, (2.7)
и элементы ее главной диагонали имеют смысл дисперсий отклонений оценок от оцениваемых параметров, т.е. являются мерой разброса оценки относительно оцениваемого параметра.
Точность безусловной оценки, которая соответствует случайному оцениваемому параметру, принято характеризовать матрицей вторых моментов отклонений оценки от оцениваемых параметров:
К„ = My Q {[000 - 0] [0О>) - 0]т>. (2.8)
Элементы главной диагонали этой матрицы представляют собой средние квадраты ошибок оценивания отдельных компонентов случайного вектора 0, а остальные элементы являются вторыми смешанными моментами этих ошибок.
Как уже отмечалось, степень приближения оценок к оцениваемым параметрам является ограниченной снизу. Это значит, что при любом способе оценивания нельзя получить оценки, точность которых будет выше определенных значений, являющихся границами принципиально достижимых результатов. Эти границы задаются с помощью неравенства Рао — Крамера. Для несмещенных условных оценок справедливо
Хц = Л^|е{[ЄОО - 0] [000 - 0]т} > Ф"1. (2.9)
40
Здесь Ф — так называемая информационная матрица Фишера, определяемая двумя эквивалентными способами:
Ф-М
у\в'
дв
ІпЦуїв)
дв
ІпЦуїв)
(2.10)
= -М
у\В
дв
-1пДу|0)
где
—1пДИ©)
определяется как вектор-строка,
—1пДу|0)_
матрица вторых производных (матрица Гессе, ее
С/0
определение дано в п. 2.2). Нижняя граница в неравенстве Рао — Крамера, заметим, достигается при эффективных оценках. Аналогичные соотношения существуют для смещенных и безусловных оценок (например, [29]).
2.2. Операции многомерного дифференцирования
Выше мы уже встречались с операциями дифференцирования, отличающимися от традиционно изучаемых в курсе высшей математики их аналогов. Разумеется, это отличие чисто «организационное», не затрагивающее сущности и свойств дифференцирования как математической операции. Рассмотрим наиболее характерные ситуации, нуждающиеся в соответствующих комментариях.
1. Пусть у = f[x) и /:R" —» R, т.е. рассматривается скалярная функция у ОТ п переменных X = [X] Х2 ... х„]т. Тогда по определению
Ф> _ df(x) dx dx
afix) df(x) апх)
Э.Х[ 9^2 Эх„
(2.11)
т.е. производная от скалярной функции по векторному аргументу определяется как вектор-строка частных производных. Вектор-столбец
41
V/(x) =
Щх)
djc
(2.12)
образует градиент функцииДх) в точке х.
Рассмотрим два характерных случая. Пусть у = хТАх, Ае Rnxn. При п = 2 (А = [fly], /,у =1,2) легко получаем у = а\\х2 + (вц + + а2\)х\х2 + Ч22х2 и в соответствии с определением
dy_
cbc
= [2Д| [X] + (0[2 + °21 )*2 (fl12 + а21 )Х1 + 2^22 х2 ]=
= [х,х2]
2ап а\2 +a2i ап +а2\ 2о22 .
а1\ аП а2\ а22
а\\ а21 О] 2 022.
= *Т(Л + ЛТ)-
По аналогии и для общего случая (и > 2) можем получить
—хтАх = хт(А + Ат), VxrAx = (A + AT)x. (2.13)
d*
Соответственно при симметрической матрице А, т.е. для ква-
т d х т т
дратичной формы х Ах, имеем — х Ах = 2х A, Vx Ах = 2Ах.
Т
Аналогичным образом для линейной формы у = с х находим
d т т — т —с jc = с , Vc х = с. йх
2. Для функции/. R" -> R вводится понятие второй производной по вектору х. По определению
э 2Дх)
V2/(*) = -^r/(*) = dx
d2 fix) d2f(x)
dx2 dX\dX2
b2f{x) Э2л X)
dx2dxi dx2
d2f(x) d2f(x)
dxndxi dxndx2
dxidxn
d2f(x)
dx2dxn
Э 2f(x) dxi
sRr
(2.14)
42
Эту матрицу называют матрицей вторых производных, или матрицей Гессе, а ее определитель — гессианом. В частности, V2x Ax = А + АТ и при симметрической матрице V2xTAx = 2А.
3. Пусть у =fix) и/: R" —» Rm, т.е. рассматривается т-мерная
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 73 >> Следующая
Реклама
Авторские права © 2009 AdsNet. Все права защищены.
Rambler's Top100